こんにちは、あひる（Twitter）です🐤
ソシャゲでよく登場するガチャですが、皆さんは疑問に思ったことありませんか？
今回はこういった疑問に答えます。
先に答えを言ってしまうと、『1天井まで当たらない確率は現実的な確率』でした。
それでは、Let's go!!
どうやって求めるのか？
今回は二項分布を使って求めていきたいと思います。
二項分布
ベヌルーイ試行をn回行って、成功する確率Xが従う確率分布のこと
ベヌルーイ試行とは、例えば「コインを投げたときに表が出るか裏が出るか」のように、何かを行った時に起こる結果が2つしかない試行のことです。（k = 成功回数）
$$P(X = k) = {}_n C_kp^k (1-p)^{n-k} (k = 0, 1, 2, ・・・, n)$$
ガチャに置き換えると「目的のキャラが当たりかハズレ」の二項分布を考えれば良いことになります。
天井となる確率を計算
排出率 2%
ポケモンマスターズ EX（通称ポケマス）を例にとって考えてみます。
通常の星５（一番レア）の排出率は2%、天井までは133回ガチャを回す必要があります。
この時、133回中1回も当たりが出なかった場合（当たり0回）を考えてみます。
確率をヒストグラムにすると以下の通りとなります。
横軸が当たる回数、縦軸が確率を表しています。
0回のところに注目すると、確率は 0.068 = 6.8%（1回以上当たる確率：93.2%）となりました。
1回以上当たる確率が90%以上なので、まだマシかなと思いました。
排出率 1%
星５の中でもフェスで排出率1%のキャラがいますので、その場合を考えてみます。
この時、133回中1回も当たりが出なかった場合（当たり0回）
確率をヒストグラムにすると以下となります。
先ほどの2%の時より、左側に寄ってきました。
0回のところに注目すると、確率は 0.263 = 26.3%（1回以上当たる確率：73.7%）となりました。
4人に1人は天井まで当たらないとなります。
２天井（133回*2）まで回すと排出率2%の結果と同じまで上がります（2%:２天井で当たり0回＝1%:1天井で当たり0回）
以前、２天井まで回した配信者の方が「運営に操作されている」とボヤいておりましたが、１天井で約26%、２天井で約7%ですので、操作されているとは未だ言えない確率の高さだと考えられます。
排出率 0.7%
最後に、ポケマスではなく、ウマ娘はもっと厳しいと耳にしたので考えていきます。
調べてみると、ウマ娘は一番排出率が低いのが0.7%（一時期0.5%もあったとか）、天井までの回数が200回との事。
この時、200回中1回も当たりが出なかった場合（当たり0回）。
確率をヒストグラムにすると以下の通りとなりました。
もう細かすぎて見えづらいと思いますが、0のところに注目すると、確率は 0.22 = 22.2%（1回以上当たる確率：77.8%）となりました。
排出率1%の時より当たるように見えますが、今回は200回ガチャを回してこの結果となります。（0.7%:133回で計算すると36.7%）
まとめ
ソシャゲのガチャの天井まで当たらない確率を二項分布を用いて計算してみました。
| ポケマス (n = 133) | ウマ娘 (n = 200） | ||
| 排出率 2% | 排出率 1% | 排出率 0.7% | |
| １天井 | 6.8% | 26.3% | 22.2% |
| ２天井 | 0.5% | 6.9% | 4.9% |
＜各天井まで1回も当たらない確率＞
１天井まで当たらないことは現実的な確率でした。
確率を把握した上で無理のないように楽しんでいければと思います。
それでわ。